復變函數(shù)總結

第一章復數(shù)的運算與復平面上的拓撲

1.復數(shù)的定義

一對有序實數(shù)（x,y）構成復數(shù)zxiy,其中xRez,yImz.i21，X稱為復數(shù)的實部，y稱為復數(shù)的虛部。復數(shù)的表示方法1）模：

zx2y2；

2）幅角：在z0時，矢量與x軸正向的夾角，記為是位于(,]中的幅角。

argzArgz（多值函數(shù)）；主值

3）argz與

arctanyx之間的關系如下：

yx；

當x0,

argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan當yxyx

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中間一定是“+”5）指數(shù)表示：

2.復數(shù)的四則運算

1）.加減法：若z1x1iy1,z2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：

3）若z1x1iy1,z2x2iy2，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其中argz

；。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4）若

z1z1ei1,z2z2ei2,則

z1z2z1z2ei12；

z1i12z1ez2z2

5.無窮遠點得擴充與擴充復平面

復平面對內任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系,

而N點本身可代表無窮遠點,記作.這樣的球面稱作復球面這樣的球面稱作復球面.

擴充復平面---引進一個“理想點”:無窮遠點∞復平面的開集與閉集

復平面中領域，內點，外點，邊界點，聚點，閉集等概念復數(shù)序列的極限和復數(shù)域的完備性復數(shù)的極限，，柯西收斂定理，魏爾斯特拉斯定理，聚點定理等從實數(shù)域里的推廣，可以結合實數(shù)域中的形式來理解。

第二章復變量函數(shù)

1.復變量函數(shù)的定義

設G是一個復數(shù)zxiy的集合.如果有一個確定的法則存在,按這個法則,對于集合G中的每一個復數(shù)z,就有一個或幾個復數(shù)wuiv與之對應,那末稱復變數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復變函數(shù)),記作wf(z).

1）復變函數(shù)的反演變換（了解）2）復變函數(shù)性質

反函數(shù)有界性周期性，3）極限與連續(xù)性極限：

設函數(shù)wf(z)定義在z0的去心鄰域

連續(xù)性

0zz0內,如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的0,相應地必有一正數(shù)()使得當0zz0(0)時,有f(z)A那末稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限.

如果limf(z)f(z0),那末我們就說f(z)zz0在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內處處連續(xù),我們說f(z)在D內連續(xù).2.復變量函數(shù)的形式偏導

1）復初等函數(shù)ezexcosyisinye2)指數(shù)函數(shù)：，在z平面處處可導，處處解析；且注：e是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）3)對數(shù)函數(shù)：主值：

zzez。

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數(shù)）；

。（單值函數(shù)）

lnzlnziargzLnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且

lnz1z；

注：負復數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）

4)乘冪與冪函數(shù)：

abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

bb1注：在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且

zbz。

eizeizeizeiz5)三角函數(shù)：

sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz在z平面內解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性

sinz1,cosz1不再成立；（與實函數(shù)不同）

ezezezez6）雙曲函數(shù)

shz2,chz2；shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內解析shzchz,chzshz

第三章解析函數(shù)的定義

1.復變量函數(shù)的導數(shù)

設函數(shù)wf(z)定義于區(qū)域D,z0為D中的一

點,點z0z不出D的范圍,f(z0z)f(z0)

如果極限limz0z存在,

那末就稱f(z)在z0可導.這個極限值稱為f(z)在z0的導數(shù),復變量函數(shù)的解析性

如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內處處可導,那末稱f(z)在z0解析.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內每一點解析,則稱

f(z)在區(qū)域D內解析.或稱f(z)是區(qū)域D內的一

個解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).

2.函數(shù)可導與解析的充要條件1）函數(shù)可導的充要條件：

fzux,yivx,y在zxiy可導

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

uv,xyuvuvfziyx此時，有xx。

2）函數(shù)解析的充要條件：

fzux,yivx,y在區(qū)域內解析

ux,y和vx,y在x,y在D內可微，且滿足CD條件：

uv,xyfzuvyx；uvixx。

此時

注意：若

ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則

ux,y,vx,y在區(qū)

域D內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導且滿足CR條件時，函數(shù)f(z)uiv一定是可導或解析的。

解析映射的幾何意義

保角性：任何兩條相交曲線的夾角（即在交點的切線的夾角）在解析映射下的夾角保持不變

第四章柯西定理和柯西公式

1．復變函數(shù)積分的性質

fzdz1）

ccc1fzdz（c與c的方向相反）；

cc1

[fzgz]dzfzdzgzdz,,2）是常數(shù)；

3）若曲線c由c1與c2連接而成，則c2．復變函數(shù)積分的一般計算法

ccfzdzfzdzfzdzc1c2。

fzdzudxvdyivdxudy1）化為線積分：；（常用于理論證明）

c2）參數(shù)方法：設曲線c：

zzt(t)，其中對應曲線c的起點，對

應曲線c的終點，則c

3.積分與路徑無關的條件和原函數(shù)1）條件：見書中定理（1.1）（1.2）命題（1.1）（1.2）這幾個定理及命題都只有理論上的意義。柯西-古爾薩定理及其應用4．柯西古薩基本定理：

fzdzf[zt]z(t)dt設

fz在單連域B內解析，c為B內任一閉曲線，則

fzdz0c

5．復合閉路定理：設

fz在多連域D內解析，c為D內任意一條簡單閉曲線，

c1,c2,cn是c內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D內，則

①

fzdz,fzdzcnk1ck其中c與ck均取正向；

②

fzdz01cc，其中由及(k1,2,n)所組成的復合閉路。

6．閉路變形原理：一個在區(qū)域D內的解析函數(shù)

fz沿閉曲線c的積分，不

因c在D內作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經過使的奇點。

7．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設

fz不解析

fzGzfz在單連域B內解析，為在B(z1,z2B)內的一個原函數(shù)，則

說明：解析函數(shù)數(shù)即可。

8.柯西積分公式：設

z2z1fzdzGz2Gz1

fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函

fz在區(qū)域D內解析，c為D內任一正向簡單閉曲線，cfzdz2ifz0czzz0的內部完全屬于D，0為c內任意一點，則9．高階導數(shù)公式：解析函數(shù)

fz的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為fz2indzc(zz0)n1n!fz0其中c為

(n1,2)

fz的解析區(qū)域D內圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內

部完全屬于D。10重要結論：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向簡單閉曲線）

8．復變函數(shù)積分的計算方法1）若2）設

fzfz在區(qū)域D內處處不解析，用一般積分法在區(qū)域D內解析，

cfzdzf[zt]ztdt

cc是D內一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理，fzdz0

c是D內的一條非閉曲線，z1,z2對應曲線c的起點和終點，則有

cfzdzz2z1fzdzFz2Fz1

3）設

fz在區(qū)域D內不解析

fzdz2ifz0czz0fz2indzfz0c(zz)n1n!0曲線c內僅有一個奇點：（f(z)在c內解析）

曲線c內有多于一個奇點：cnfzdzfzdzk1ckkn（ci內只有一個奇點zk）

或：

fzdz2iRes[f(z),z]ck1（留數(shù)基本定理）

fzn1(zz)o若被積函數(shù)不能表示成，則須改用第五章留數(shù)定理來計算。

在柯西定理的基礎上還有莫拉雷定理，柯西不等式，劉維爾定理最大模原理

解析函數(shù)的模不能再區(qū)域內達到極大值，除非它是一個常函數(shù)

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第一章復數(shù)

1i2=-1i1歐拉公式z=x+iy

實部Rez虛部Imz

2運算①z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2

②z1z2Rez1z2Imz1z2Rez1Rez2Imz1Imz2

z1z2③

x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1

④

z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2⑤zxiy共軛復數(shù)

zzxiyxiyx2y2共軛技巧

運算律P1頁

3代數(shù)，幾何表示

zxiyz與平面點x,y一一對應，與向量一一對應

輻角當z≠0時，向量z和x軸正向之間的夾角θ，記作θ=Argz=02kk=±1±2±3…

把位于-π＜0≤π的0叫做Argz輻角主值記作0=argz0

4如何尋找argz

例：z=1-iz=i

4

2z=1+i

4z=-1π

5極坐標：xrcos，yrsinzxiyrcosisin

i利用歐拉公式ecosisin可得到zre

iz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei12

6高次冪及n次方

znzzzzrneinrncosnisinn

凡是滿足方程z的ω值稱為z的n次方根，記作

nnz

zrei2kn即rn

2knr2kn

1n第二章解析函數(shù)

1極限2函數(shù)極限

①復變函數(shù)

對于任一ZD都有W與其對應fz注：與實際情況相比，定義域，值域變化例fzz

②limfzzz0稱fz當zz0時以A為極限

zz0☆當fz0時，連續(xù)例1

證明fzz在每一點都連續(xù)

證：fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一點都連續(xù)

3導數(shù)

fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0"例2fzC時有C證：對z有l(wèi)imz0fzzfzCClim0所以C"0z0zz例3證明fzz不可導解：令zz0

fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy當0時，不存在，所以不可導。

定理：fzux,yivx,y在zxiy處可導u，v在x,y處可微，且滿足C-R

條件

uvuvuvi且fz

xxxyyx例4證明fzz不可導

解：fzzxiy其中ux,yxvx,yyu,v關于x,y可微

uv11不滿足C-R條件所以在每一點都不可導xy例5fzRez

解：fzRezxux,yxvx,y0

uv10不滿足C-R條件所以在每一點都不可導xy例6：fzz

2解：fzz2x2y2其中ux,yx2y2vx,y0

根據C-R條件可得2x0,2y0x0,y0所以該函數(shù)在z0處可導

4解析

若fz在z0的一個鄰域內都可導，此時稱fz在z0處解析。用C-R條件必須明確u,v

四則運算fgfgfgzfggzkfkfznnzn1

zfgfgfg☆eezffgfg2gg例：證明fzezeezz

解：fzezexcosyiexsiny則ux,yexcosyvx,yexsiny

uvexcosyexcosyxyuvexsinyexsiny任一點zxiy處滿足C-R條件yxz所以e處處解析fzuviexcosyiexsinyezxx練習：求下列函數(shù)的導數(shù)

fzzz

22232233223解:fzzzxyxiyxixyxyiyxxyixyy

2ux,yx3xy2vx,yx2yy3所以

u2xyyuv3x2y2x23y2xyC-R

方程可得

v2xy根據xuv3x2y2x23y2xyuv2xy2xyx0,y0yx所以當z0時fz存在導數(shù)且導數(shù)為0，其它點不存在導數(shù)。

初等函數(shù)

Ⅰ常數(shù)

Ⅱ指數(shù)函數(shù)ezexcosyisiny

①定義域②e1ezz2ez1z2③ez2iezcos2isin2ez④ezez

Ⅲ對數(shù)函數(shù)稱滿足ze的叫做z的對數(shù)函數(shù)，記作lnz分類：類比nz的求法（經驗）目標：尋找arg幅角主值

i可用：zezreuiv

iuiveueivreireu,eieiv過程：zreeeulnr,v2kk0,1,2

所以

uivlnri2klnrirgzlnziargz2k

k0,1,2

例：求Ln1Ln1iLni的值

arg1

Ln1ln1iarg12ki2k1k0,1,2

arg1i4

Ln1iln1iiarg1i2kargi1ln2i2kk0,1,2242

Lnilniiargi2k1i2kk0,1,2

2Ⅳ冪函數(shù)對于任意復數(shù)，當z0時

zeLnz

例1：求i解

1i的值

：

i1ielni1ie1iLelnii1iniie1ii2kAr2ei12kg2

k0,1,2

例2：求1i3ieln1i3ie3iln1ie13iln2i2k24

Ⅴ三角函數(shù)eiyeiycosyeiycosyisiny2iyiyiy

eeecosyisinysiny2i定義：對于任意復數(shù)zxiy，由關系式可得z的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)

eizeizeizeizcoszsinz

22i例：求sin1icos5i解：sin1i1i1ieei1i2i1cos5iei5iei5i

2第三章復變函數(shù)的積分

1復積分

定理3.1設C是復平面上的逐段光滑曲線fzux,yivx,y在C上連續(xù)，則

fzux,yivx,yCC在C上可積，且有

fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx

C注：①C是線②方式跟一元一樣方法一：思路：復數(shù)→實化

把函數(shù)fzuiv與微分dzdxidy相乘，可得

fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx

CCC方法二：參數(shù)方程法☆核心：把C參數(shù)C：ztt

fzdzztztdt

C例：求

1；11izdz①C：0→1i的直線段②0CC1C2解：①C：zttit0t1

zdztittitdtt1i1idt1

C0011②C1:ztt0tC2:zt1it0t1

zdzzdzzdztdt1itdtCC1C201*111i1i22★結果不一樣

2柯西積分定理

例：

zaC1nn12idz

n10C：以a為圓心，ρ為半徑的圓，方向：逆時針解

：C

：

zaei2in

2

zxiy

02

zaC1ndz0edz10einieid2in1i221nin1e1nid1ed1ni0n1001ni☆積分與路徑無關：①單聯(lián)通②處處解析例：求

2zC2xasin8z1dz，其中C是連接O到點0,2a的擺線：

ya1cos解：已知，直線段L與C構成一條閉曲線。因fz2z8z1在全平面上解析，

22z8z1dz0即2z8z1dz2z則

2CL2CL28z1dz

把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于

2zL28z1dz22a02x288x1dx2a2a28a1

3故

2zC88z1dz2a2a28a1

3★關鍵：①恰當參數(shù)②合適準確帶入z

3不定積分

定義3.2設函數(shù)fz在區(qū)域D內連續(xù)，若D內的一個函數(shù)z滿足條件

zfzzD定理3.7若可用上式，則例：計算解：

fzdzzzz,zz00z0D

edz

0i0izi0ezdzezei1

2練習：計算解：

2i2i22ze3z1dz

12i3z21212i3z214i12edzed3z1222622ze3z1dz4柯西積分公式

定理處處解析fz在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內則fa1fzdz

2iCzaez1dz例1：z1zez1ez1解：dzdzez1z1z1z0zz00

sinzz2z21dzsinz1sinz1sinzdzdzdz2isin1解：z2z21z2z22z12z1例2：例3：

9zz7dz

z22z解：

z2z2zz9zdzdz2iz2zi9z2z79z2zi5

fz1fdzDC2iz注：①C：zD

②

1一次分式z③找到fzfz在D內處處解析例4：解

sinzzz22zz1dz

：

szzz22zz1dzszzszzs22dzdz2iiizzz1szzis11z0z2z1z2z0225解析函數(shù)的高階導數(shù)

公式：fnzn!f2iCzn1dzDn=1，2……應用要點：①zD

②

1zn1"n"

③精準分離

fzn1

sinzZ12z3dzsinz例：2z1z021dz2i2!sinz2z006調和函數(shù)

2g2若gx,y滿足gx2gy20則稱gx,y叫做D內的調和函數(shù)若fzux,yivx,y在D內解析

所以2u2u2xyv2v22xyxy0

把u,v稱為共軛調和函數(shù)

第四章級數(shù)理論

1復數(shù)到znn1距離dz,z

談極限對zn若有z0D使得dzn,z0znz00n此時z0為zn的極限點記作z0limzn或znz0n

n推廣：對一個度量空間x,d都可談極限2極限的性質

znnz00znz0nznnz00nn0

n0znz0n03znxniynz0x0iy0n

xx0nn

yy0n

4zn級數(shù)問題

Snz1z2z3znSn部分和數(shù)列

若limSnS0nzn1n則zn收斂，反之則發(fā)散。都收斂，則

性質：1若

zn

nzznnnn收斂

2若一個收斂，一個發(fā)散，可推出發(fā)散3SnS0n

Sn1S0n若若

aanan絕對收斂

但an收斂，為條件收斂

nz1zn等比級數(shù)：Snzzz

1z2nSn

zz1時收斂，其他發(fā)散n1z冪級數(shù)

Cnzz0

nn0zz0則Cnn

n0求收斂域limnCn1Cn0010R0

0zn例：求的收斂半徑及收斂圓

n1n解：因為lim

Cn1nlim1所以級數(shù)的收斂半徑為R=1，收斂圓為z1

nCnn1n泰勒級數(shù)

泰勒定理：設函數(shù)fz在圓K：zz0R內解析，則fz在K內可以展成冪級數(shù)

fzCnzz0n0nfnz0其中，Cn，（n=0,1,2……），且展式還是唯一的。

n!z例1：求fze在z0處的泰勒展式

解：fze在全平面上解析，fznzez，fn01

所以在z0處的泰勒展式為

z2zne1zz

2!n!z例2：將函數(shù)fz解

11z2展成zi的冪級數(shù)

：

fz11z211121z1izi1in1zizin121i1izi2

羅朗級數(shù)

羅朗定理若函數(shù)fz在圓環(huán)D：rzz0R0rR內解析，則當zD時，有fznCzzn0n

其中Cn1fdn0,1,2n12iz01例：將函數(shù)fz內展成羅朗級數(shù)。

z1z2在圓環(huán)（1）1z2（2）2z

解：（1）在1z2內，由于

1z1,1，所以z2111111z1z1z2z2z121z12z

nn1z11zn1n1n12n02zn0zn02n0zfz（2）在2z內，由于

1121,1，所以zz11111121z1z2z2z121z1zz

nn12112n11zn0zzn0zznn1fz

孤立奇點

定義：若函數(shù)fz在z0的去心鄰域0zz0R0R內解析，在z0點不解

析，則稱z0為fz的孤立奇點。

sinzz2z4z2nn例：11z0為可去奇點

2n1!z3!5!2n3sinz1zn1z21z0為一級極點

2n1!z3!zsin1z11111n11z0為本性奇點32n12n1!zz3!z第5章留數(shù)理論（殘數(shù)）

定義：設函數(shù)fz以有限項點z0為孤立奇點，即fz在z0的去心鄰域

1fzdz的值為函數(shù)fz在點z0處的留數(shù)2iC0zz0R內解析，則稱積分

記作：Resfz,z01fzdzC2i其中，C:zz0R，C的方向是逆時針。例1：求函數(shù)fzsinz在z1處的留數(shù)。z414解：因為z1以z1為一級零點，而sin10，因此fz以z1為一級極點。

Resfz,1sinzz411zz1sinz4z3z11sin14例2：求函數(shù)fzez在z0處的留數(shù)

解：z0是fz的本性奇點，因為

fzez1z111z2zn111ee1z12n2!n1!z2!n!zzz1z0z

所以C111111

n1!n!2!2!3!可得Resfz,01

111

n1!n!2!2!3!

第7章傅里葉變換

通過一種途徑使復雜問題簡單化，以便于研究。

定義：對滿足某些條件的函數(shù)ft在,上有定義，則稱

Ffteitdt

為傅里葉變換。同時ftfteitd為傅里葉逆變換

注：①傅里葉變換是把函數(shù)ft變?yōu)楹瘮?shù)F

②傅里葉逆變換是把函數(shù)F變?yōu)楹瘮?shù)ft③求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關鍵是計算積分

④兩種常見的積分方法：湊微分、分部積分復習積分：①exdx1xxedxe

0

②sin7x1dx1cos7sin7x1d7x17x17③xe2dx1x233x33x23213x232e32edx6ed3x36

④

x3exdxx3exexdx3

x3ex3exx2dxx3ex3exx2exdx2

x3ex3exx26exxdxx3ex3exx26xexex

dxx3ex3exx26xex6ex⑤x2sinxdxx2sinxsinxdx2

x2sinx2xsinxdxx2sinx2xsinxsinxdxx2sinx2xsinx2cosx

注：uvdxuvudv

例1：求ft10tsts的F

Ffteitdtsitt0edts1isedts0eitdtisitdit解：

seieits

siiisese2sins例2：求ft0ett0t00的FFfteitdt00eitdteteit0dt解：it0edt

1eiti0i22-函數(shù)

定義：如果對于任意一個在區(qū)間,上連續(xù)的函數(shù)ft，0tt0ftdtft0，則稱t為-函數(shù)。

例1：求-函數(shù)的F

恒有解：Fteitdtt0eit0eitt01

例2：求正弦函數(shù)ftsin0t的傅氏變換

Ffteitdtsin0teitdtei0tei0titedt2i解：1ei0tei0tdt2i120202ii00F☆t112

F1第8章拉普拉斯變換設ft在t0時有定義

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