一元二次函數(shù)知識點(diǎn)匯總

一元二次函數(shù)知識點(diǎn)匯總

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的一元二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

(1)拋物線yax2（a0）的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸是y軸.(2)函數(shù)yax2的圖像與a的符號關(guān)系：

時拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

0①當(dāng)a4.二次函數(shù)yax2222bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.

2a4a5.拋物線yaxbxc的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).①a決定拋物線的開口方向：

當(dāng)a0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；a越小，拋物線的開口越大，a越大，拋物線的開口越小。②對稱軸為平行于y軸(或重合)的直線，記作xh.特別地，y軸記作直線x0.③定點(diǎn)是拋物線的最值點(diǎn)[最大值(a0時)或最小值(a0時)]，坐標(biāo)為(h,k)。6.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法

2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴頂點(diǎn)是.（，），對稱軸是直線x2a2a4a2a4a22(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對稱軸是xh.

2(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩個點(diǎn)

連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失★7.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x①b0時，對稱軸為y軸；②ba2b2a,故：

0時,對稱軸在y軸左側(cè)；③ba0時,對稱軸在y軸右側(cè).

(3)c的大小決定拋物線yaxbxc與y軸交點(diǎn)的位置.

2當(dāng)x0時，yc，∴拋物線yaxbxc與y軸有且只有一個交點(diǎn)(0，c)：

①c0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則ba0.

8.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2x0(y軸)yax(0,0)22222yax2k2當(dāng)a0時開口向上a0時k當(dāng)開口向下x0(y軸)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)

9.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

2(3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2.10.直線與拋物線的交點(diǎn)（或稱二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系）(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c)

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(diǎn)(h,ah(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)

ax22bhc).

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程

bxc0的兩個實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切；③沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同(3)一樣可能有0個交點(diǎn)、1個交點(diǎn)、2個交點(diǎn).當(dāng)有2個交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bxck的兩個實(shí)數(shù)根.而根的存在情況仍如(3)一樣由根的判別式判定。(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn)，由方程組

ykxn的解的數(shù)目來確定：2yaxbxc①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點(diǎn);

②方程組只有一組解時l與G只有一個交點(diǎn)；③方程組無解時l與G沒有交點(diǎn).

(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1，由于0，Bx2，0，

bcxx,xxx1、x2是方程axbxc0的兩個根，故由韋達(dá)定理知：1212aa2ABx1x2x1x22x1x224x1x24cbaa2b4aca2a

11．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

22(1)一元二次方程0axbxc就是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況．(2)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個交點(diǎn)、有一個交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；

當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有交點(diǎn)時，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y0時自變量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．

22(3)當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時，則一元二次方程yaxbxc有兩個不

2相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有一個交點(diǎn)時，則一元二次方程

222axbxc0有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時，則一元

22二次方程axbxc0沒有實(shí)數(shù)根12.二次函數(shù)的應(yīng)用：

(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值。一般而言，最大(小)值會在頂點(diǎn)處取得，達(dá)到最大(小)值時的x即為頂點(diǎn)橫坐標(biāo)值，最大(小)值也就是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)值。(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題中的最大(小)值．

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姓名二次函數(shù)總復(fù)習(xí)（知識點(diǎn)）

21.定義：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的一元二次函數(shù).

2.二次函數(shù)yax的性質(zhì)

(1)拋物線yax（a0）的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸是y軸.

(2)函數(shù)yax的圖像與a的符號關(guān)系：

①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)3.二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

22b4acb2.yaxbxcyaxhk，k4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中h22222a4a5.拋物線yaxbxc的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

①a決定拋物線的開口方向：

當(dāng)a0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；a越小，拋物線的開口越大，a越大，拋物線的開口越小。②對稱軸為平行于y軸(或重合)的直線，記作xh.特別地，y軸記作直線x0.③定點(diǎn)是拋物線的最值點(diǎn)[最大值(a0時)或最小值(a0時)]，坐標(biāo)為(h,k)。6.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法

2b4acb2b4acb2b2（，）(1)公式法：yaxbxcax，∴頂點(diǎn)是，對稱軸是直線x.2a4a2a4a2a2(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對稱軸是xh.

(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩個點(diǎn)連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失★7.拋物線yaxbxc中，a,b,c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與yax中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yaxbxc的對稱軸是直線xaa2222b,故：2a①b0時，對稱軸為y軸；②b0時,對稱軸在y軸左側(cè)；③b0時,對稱軸在y軸右側(cè).(3)c的大小決定拋物線yaxbxc與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x0時，yc，∴拋物線yaxbxc與y軸有且只有一個交點(diǎn)(0，c)：①c0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則b0.

a8.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.其中①左右移動可得到③，再上下移動可得到④。口訣“左加右減，上加下減”圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)x0(y軸)(0,0)yax22222222當(dāng)a0時2yaxh開口向上2yaxhk當(dāng)a0時開口向下yax2kx0(y軸)(0,k)(h,0)(h,k)xhxhbx2a

yaxbxc2b4acb2，()2a4a

9.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：yaxbxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

22(3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2.

10.拋物線與Y軸的交點(diǎn)(1)y軸與拋物線yaxbxc得交點(diǎn)為(0,c)(2)拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)yaxbxc的圖像與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程

22ax2bxc0的兩個實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切；③沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.

11．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

(1)一元二次方程0axbxc就是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況．

(2)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個交點(diǎn)、有一個交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；

當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有交點(diǎn)時，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y0時自變量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．

(3)當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時，則一元二次方程yaxbxc有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與元二次方程axbxc0沒有實(shí)數(shù)根

12.二次函數(shù)的應(yīng)用：

(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值。一般而言，最大(小)值會在頂點(diǎn)處取得，達(dá)到最大(小)值時的x即為頂點(diǎn)橫坐標(biāo)值，最大(小)值也就是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)值。(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題中的最大(小)值．

2附：將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)axbxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk的方法：(可用配方法和公式法)

22222222x軸有一個交點(diǎn)時，則一元二次方程

ax2bxc0有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時，則一

22

典型例題精講：某商人如果將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高出售價格，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲價一元，其銷售量將減少10件，問他將出售價定為多少元時，才能使每天所獲利潤最大？并且求出最大利潤是多少？

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